Потребитель, имея доход, желает его потратить и, естественно, с максимальной пользой. Польза понимается в смысле системы его предпочтений или его функции полезности. В нашей работе мы рассмотрели, как можно оптимизировать выбор потребителя.
Задача оптимизации выбора потребителя
Суть оптимизации выбора потребителя.
Выбор ( X1*, X2*) является оптимальным выбором для потребителя. Множество наборов, которые он предпочитает (X1*, X2*), а именно множество наборов, располагающееся над его кривой безразличия, не пересекает наборы, которые он может себе позволить приобрести, а именно наборы под бюджетной линией. Таким образом, набор (X1*,X2*) – это наилучший набор, который потребителю по карману.
Для того чтобы рассмотреть эту задачу следует использовать в качестве приложения нахождения условного экстремума с помощью множителей Лагранжа.
Как отдельные потребители выбирают, какое количество каждого товара им купить, с учетом предпочтений и бюджетных ограничений? Мы предполагаем, что потребители делают этот выбор по рациональным соображениям – они выбирают товары так, чтобы максимизировать получаемое удовлетворение с учетом доступного им ограниченного бюджета.
Отвечающая требованиям рыночная корзина должна удовлетворять двум условиям:
Она должна находится на бюджетной линии. Почему? Заметим, что любая рыночная корзина левее и ниже бюджетной линии оставляет неизрасходованной некоторую часть дохода, который, будучи потраченным, мог бы увеличить удовлетворение потребителя. Разумеется, потребители могут – и иногда действительно делают это – сберечь некоторую часть доходов для будущего потребления. Однако пока мы упростим ситуацию, предположив, что весь доход тратится сразу. Также заметим, что любая рыночная корзина правее и выше бюджетной линии не может быть приобретена при имеющемся уровне дохода. Вот почему единственный рациональный и осуществимый выбор – это корзина, лежащая на бюджетной линии.
Она должна обеспечивать потребителю наиболее предпочтительную комбинацию товаров и услуг.
Эти два условия сводят проблему максимального удовлетворения потребителя к вопросу выбора подходящей точки на бюджетной линии.
Если проанализировать графически проблему выбора потребителя между продовольствием и одеждой, то можно сделать вывод, что корзина, которая приносит максимальное удовлетворение, должна лежать на самой верхней кривой безразличия, касающейся бюджетной линии. В точке касания бюджетной линии и кривой безразличия, наклон бюджетной линии точно равен наклону кривой безразличия. Поскольку предельная норма замещения (MRS) является отрицательной величиной, обратной углу наклона кривой безразличия, то можно сказать, что удовлетворение достигает максимума (при данном бюджетном ограничении) в точке, где
Задачу оптимизации выбора потребителя можно рассмотреть в качестве приложения метода нахождения условного экстремума множителей Лагранжа.
Будем считать, что каждый товар имеет цену pi, а индивид имеет доход Q – какое-то количество денег, в рамках которого он и действует, покупая нужный ему набор товаров. На покупку набора товаров X=(xi,…, xn) надо затратить денег в количестве c(X)=pixi+…+pnxn=
Таким образом, индивид может купить только такой набор X, при котором PX≤Q. Следовательно, множество наборов товаров, доступных ему при доходе Q. есть B=B(P,Q)={X; X≥0, PX≤Q}. Это множество называется бюджетным множеством. Бюджетное множество ограниченно и замкнуто.
Доказательство. Пусть r=min pi, тогда, как легко видеть, если X
B, то x≤Q/r для i=1,…,n, т.е. множество B ограниченно. Докажем замкнутость. Пусть Хк В для всякого k N и Xk 
Z. Тогда в силу непрерывности линейной функции
PXk PZ и, поскольку, PXk≤Q, то и PZ≤Q. Следовательно, ZB.